Desde el principio de los tiempos ha existido la necesidad de contar, cuando los hombres sentían esa necesidad recurrían inevitablemente a los dedos o a pequeños guijarros, pero esto no abarcaba un gran número por lo que cuando se llegaban a cifras altas normalmente se hacía una marca específica y se seguían contando unidades a partir de ahí. Esta marca o número es la base. Así es como surge el concepto de base.
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los numeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos.
FUNCIONALIDAD DE SISTEMAS DE NUMERACION
Un sistema de numeración es una forma unánimemente aceptada por la humanidad de contar las cosas. Aunque hay que decir, que no todos los seres humanos tienen el mismo sitemas de numeración.
Todos tienen la necesidad de contar, de agrupar, todos tienen símbolos para expresarse pero no los mismos.
Tiene la finalidad de comunicarnos
Para qué queremos representar números? Si tu ya sabes que número de cosas tienen solo lo puedes querer representar para decírselo a otra persona.
No podemos trabajar de memoria con cifras grandes por lo que las agrupamos y codificamos para que nos sea más fácil.
Para explicar para qué sirven los sistemas de numeración vamos a poner un ejemplo muy curioso:
Imagínate que un hindú de la antigüedad en su primera cosecha consigue 10 sacos de trigo. De esos 10 vende 3 para comprar ropa a su familia. Como va aprendiendo, al año siguiente consigue 20 sacos y así sucesivamente hasta que llega un momento en que puede hacer negocio con sus plantaciones y ofrecer a su familia una vida mejor con un palacio en la montaña y clases de bailes de ombligo para sus hijas.
Pero el problema es que al principio podía llevar la cuenta de lo cultivado con los dedos de la mano, pero ahora cultiva tanto que no sabe realmente cuanto ha sacado de diferencia respecto al año anterior.
Entonces se le ocurre una solución. Cada 10 sacos que consiga los va a meter en un cajón y cada 10 cajones en una habitación. A la hora de vender la mercancía sabe que cada habitación contiene 10 de 10 sacos. Según las habitaciones que llene cada año habrá conseguido más o menos beneficios. Para tenerlo aun mas claro cada cajón lo simboliza con un cuadrado y así el agricultor sabe que un cajo son 10 y 2 son 20. y una habitación son 100 y 2 son 200. A la habitación le ha dado el símbolo de un cuadrado mayor puesto que así es.
En este caso el agricultor a hecho una agrupación puesto que le resultaba imposible llevar la cuenta de todo lo que plantaba.
SISTEMA BINARIO OPERACIONES MATEMATICAS (SUMA RESTA MULTIPLICACION Y DIVICION)
Suma de números Binarios
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
100110101
+ 11010101
———————————
1000001010
Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).Resta de números binarios
El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:
- 0 - 0 = 0
- 1 - 0 = 1
- 1 - 1 = 0
- 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:
Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690)
10001 11011001
-01010 -10101011
—————— —————————
01111 00101110
Apesar de lo lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:
- Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
————————————— = ————— ————— —————
010000101011 0100 0010 1011
- Utilizando el complemento a dos. La resta de dos numeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario:
1011011 1011011
-0101110 C2 de 46 = 1010010 +1010010
———————— ————————
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.
Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:
11011011 11011011
-00010111 C2 de 23 = 11101001 +11101001
————————— —————————
11000100 111000100
Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.
- Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).
Producto de números binarios
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:
10110
1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110
En sistemas electronicos , donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo booth.
División de números binarios
La division en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la divicion, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 |1101
——————
- 0000 010101
———————
10001
- 1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001
OPERACIONES CON SISTEMA DE NUMERACION OCTAL
Este sistema solo puede trabajar con los números1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
multiplicacion
resta
SUMA
divicion
HISTORIA LOGICA MATEMATICA
La LOGICA MATEMATICA es una parte de la lógica y las matemáticas que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos comoconjuntos, números, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.Lógica proposicional
La lógica proposicional (o lógica de orden cero) es un lenguaje formal en el que no existen variables ni cuantificación, eso implica que cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada de la lógica proposicional admite una valoración en la proposición es cierta o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. En otras palabras en la lógica proposicional cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en un número finito de pasos puede determinarse la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica proposicional sea completa y muy sencilla de caracterizar semánticamente.TABLAS DE LA VERDADUna tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.1Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.TABLAS DE LA VERDAD EN PROPOSICIONES COMPUESTASEn realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.
- La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.
Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.
- Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.
Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:
Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.
Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).
Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.
Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.
Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.
El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.
